Matematicas II
lunes, 29 de abril de 2013
APLICAS LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS
* LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS:
Ley de senos
C sen B sen A sen
γ β α
==
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplenentre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolverciertos tipos de
problemas
de triángulos.La ley de los Senos dice así:Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y
α
,
β
y
γ
(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la
α
está en el ángulo opuesto de A. La
β
está en el ánguloopuesto de B. Y la
γ
está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Resolución de triángulos por la ley de los SenosResolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos
β
al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;
α
al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C = ?
α
= 43°
β
= 27°
Ley de cosenos
C
2
= A
2
+ B
2
– 2ABcos
γ
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de untriángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemasde triángulos.La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,entonces dice así:donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y
α
,
β
y
γ
(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ánguloopuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y elángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen loslados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.Resolución de triángulos por la ley del CosenoResolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lopuede resolver.
A BC
βγ α
A BC
βγ α
A BC
βγ α
A BC
βγ α
APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
*FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL PLANO CARTESIANO:
signos de las funciones trigonometricas
las funciones trigonometricas pueden generalizarse para cualquier ángulo que esten en posición normal o standart en el plano cartesiano
signos de las funciones trigonometricas
en el cuadrante uno todos los valores trigonometricos tienen signo positivo, pues la x como la y tienen signo positivo
*cuando el lado terminal en el numero dos romano cuadrante el signo de la coordenada es x es negativo y el ordenada "y" espositivo, en este cuadrante las coordenadas "x" y "y" tienen signo negativo
*cuando el lado terminal deangulo esta en el cuarto cuadrante las "x" tienen signo positivo y las "y" signo negativo.
*CIRCULO UNITARIO:
La circunferencia unitaria es una circunferencia de radio uno, es el lugar geométrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad de distancia respecto de un punto llamado centro que es el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas.
**GRAFICA DE LAS FUNCIONES DE LOS SENOS Y COSENOS:
Las funciones Seno y Coseno
La función seno se define de la siguiente manera
sen sen |
Se define la función coseno como
DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA RESOLVER TRIANGULOS
*FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
*SISTEMA SEXAGESIMAL Y CIRCULAR:
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. 2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. 3er paso Se hace lo mismo para los minutos. Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. 2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo.
A continuación restamos los segundos. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación por un número 1er paso Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. 2o paso Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3er paso · Se hace lo mismo para los minutos. División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1er paso Se dividen las horas (o grados) entre el número. 2o paso El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3er paso · Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 4o paso Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17''. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 h 5.12º. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final. Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 7520'' 2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. El sistema circular. En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’ Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal. Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue. 1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.
*Razones trigonometricas directas y reciprocas de angulos agudos:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:
*SISTEMA SEXAGESIMAL Y CIRCULAR:
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. 2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. 3er paso Se hace lo mismo para los minutos. Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. 2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo.
A continuación restamos los segundos. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación por un número 1er paso Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. 2o paso Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3er paso · Se hace lo mismo para los minutos. División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1er paso Se dividen las horas (o grados) entre el número. 2o paso El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3er paso · Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 4o paso Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17''. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 h 5.12º. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final. Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 7520'' 2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. El sistema circular. En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’ Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal. Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue. 1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.
*Razones trigonometricas directas y reciprocas de angulos agudos:
Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo , de la siguiente manera:
|
EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA
**CIRCUNFERENCIA:
*RECTAS Y SEGMENTOS:
Según las anteriores imágenes podemos decir que una RECTA es una secuencia de puntos que seprolongan en sentidos opuestos y nunca tiene un fin. Un SEGMENTO es una secuencia de puntos de
rectilíneos que tiene un punto de origen y un punto
final. En este caso se origina en A y finaliza en B.
*ANGULOS:
*PERIMETRO Y AREA:Estas son las formulas mas comunes para el dicho caso.Si hablas de corcunferencia entonces:
La longitud de la circunferencia: 2πr
Donde: r es el radio, y π = 3,141592...
Por lo general solo lo dejan en π, pero alli esta su valor si quieres un valor exacto.
=> Area del circulo: R²π
Donde: R es el radio de la circunferencia.
=====================================
Perimetro de la circunferencia = 2πR
Area de la circunferencia: R²π
*RECTAS Y SEGMENTOS:
Según las anteriores imágenes podemos decir que una RECTA es una secuencia de puntos que seprolongan en sentidos opuestos y nunca tiene un fin. Un SEGMENTO es una secuencia de puntos de
rectilíneos que tiene un punto de origen y un punto
*ANGULOS:
Agudo < 90° | Recto = 90° | Obtuso>90° |
Convexo < 180° | Llano = 180° | Cóncavo > 180° |
Nulo = 0º | Completo = 360° | |
Negativo < 0º | Mayor de 360° | |
La longitud de la circunferencia: 2πr
Donde: r es el radio, y π = 3,141592...
Por lo general solo lo dejan en π, pero alli esta su valor si quieres un valor exacto.
=> Area del circulo: R²π
Donde: R es el radio de la circunferencia.
=====================================
Perimetro de la circunferencia = 2πR
Area de la circunferencia: R²π
RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS
**POLIGONOS:
Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°.
Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono (lados rectos) | No es un polígono (tiene una curva) | No es un polígono (abierto, no cerrado) |
Tipos de polígonos
Simple o complejo
Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!
Polígono simple (este es un pentágono) | Polígono complejo (también es un pentágono) |
**ELEMENTOS Y PROPIEDADES:
*ANGULO CENTRAL:
Es un ángulo formado por dos rayas coplanares con respecto al círculo.
El vértice es el centro del círculo.
*ANGULO INTERIOR:
Ángulos interiores
Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.
**LA SUMA DE LOS ANGULOS CENTRALES, INTERIORES Y EXTERIORES:
Existen actualmente propiedades que se presentan en casos específicos de polígonos (Como es el de los tríangulos que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 grados sexagesimales), donde puede utilizarse como base estas para determinar tanto ángulos interiores y exteriores de otros polígonos por medio de la técnica de triángulación. Aplicable en un gran número de casos.
O bién puede partirse de la concepción de un ángulo llano (180 grados sexagesimales) e ir realizando una serie de sustracciones a base de ángulos ya conocidos, ambas métodos son igual de efectivos en diferentes escenarios.
Por otro lado en una instancia final, es posible también utilizar algo que es denominado en geometría como: (La regla general) siempre y cuando el polígono sea regular.
Siguiendo una especie de fórmula algebraica ya definida:
— Suma de los ángulos interiores —
— ángulo individual (interior) —
Donde “n” representa el (Número de lados del polígono a determinar - ángulos).
Por ejemplo, Supongamos que tenemos un triángulo y para ello deseamos conocer la suma de sus ángulos interiores y cuanto vale cada ángulo individual.. Entonces aplicamos la fórmula para determinarlo:
- Suma de ángulos interiores
- ángulo individual (interior)
Como se puede observar esto contransta de acuerdo a la ley del triángulo.
Ya una vez tenido las mediciones de ángulo interiores, las mediciones de los ángulos exteriores son facílmente deducibles a base de la diferencia de un ángulo llano y listo!.
Por ejemplo:
Supongamos que tenemos un triángulo y en el cual cada ángulo interior equivale a (60 grados sexagesimales) entonces su ángulo exterior equivale a (120 grados sexagesimales) de acuerdo a la diferencia en un ángulo llano. Como previamente se comento.
Por último, cabe destacar que la regla es muy útil cuando se posee un polígono regular, lo cual no significa que los demás sean un tanto menos deficientes unicamente que es mejor uno determinando la situación presente.
**PERIMETRO Y AREA DE POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES:
Calcular el área de un polígono regular es una tarea bastante sencilla porque hay una fórmula que sirve para todos los polígonos regulares.
Encontrar el área de un polígono irregular es como jugar un juego en el que tienes que construir una forma con un montón de formas más pequeñas, hay que crear formas estándar y sumar las áreas de las formas para encontrar el área del polígono irregular. Sin embargo, ser capaz de hacer esto es más útil que saber cómo jugar a un juego. Peritos, agricultores y jardineros deben ser capaces de encontrar el área de piezas de forma irregular para trabajar con la tierraadecuadamente.
Observa en la figura como se divide el hexágono regular en seis triángulos congruentes (mismaforma y tamaño). Por lo tanto, el área del hexágono es igual a seis veces el área de cada triángulo.
Decimos: Área del hexágono = 6 x área del triángulo.
Ahora bien:
- La base de cada triángulo es un lado del hexágono.
- La altura de cada triángulo es la apotema del hexágono. Por lo tanto:
Área del triángulo = base x altura / 2 = lado x apotema / 2 y el área del hexágono = 6 x lado x apotema / 2
¡Pero 6 x lado es el perímetro del hexágono! Por lo tanto:
Área del hexágono = perímetro x apotema / 2
Esta formula es valida para todos los polígonos regulares:
Área del polígono = perímetro x apotema / 2
Area del poligono irregular
El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos, rectángulos, trapecios, etc.
Observa la figura. Se calcula el área de un polígono como suma de 3 triángulos y un trapecio:
- del triángulo ABE = 6 cm x 3 cm / 2 = 9 cm2
- del triángulo EDM = 2 cm x 3 cm / 2 = 3 cm2
- del trapecio MDCN = 3 cm + 2 cm / 2 x 3 cm = 7,5 cm2
- del triángulo NCB = 1 cm x 2 cm / 2 = 1 cm2
Área del polígono = 9 + 3 + 7,5 + 1 = 20,5 cm2
El perímetro es la suma de la longitud de todos los lados de un polígono.
Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales
Polígonos irregulares son los que tienen sus lados diferentes.
Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales
Polígonos irregulares son los que tienen sus lados diferentes.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)