lunes, 29 de abril de 2013

APLICA LA ESTADISTICA ELEMENTAL

APLICAS LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS

* LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS:

 
Ley de senos 
 sen B sen A sen
γ  β α 
==
La ley de los Senos es una relación de tres igualdades que siempre se cumplenentre los lados y ángulos de un triángulo cualquiera, y que es útil para resolverciertos tipos de
problemas
de triángulos.La ley de los Senos dice así:Donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y 
α
,
β
γ 
(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la
α
está en el ángulo opuesto de A. La
β
está en el ánguloopuesto de B. Y la
γ 
está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Resolución de triángulos por la ley de los SenosResolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley de los senos. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de loscosenos lo puede resolver.En general, si en un problema de triángulos te dan como datos 2 ángulos y unlado, usa ley de los senos. Si por el contrario te dan dos lados y el ángulo quehacen esos dos lados, usa la ley del coseno.Supongamos que te ponen el siguiente problema:Resolver el triángulo siguiente:Llamemos
β
al ángulo de 27° porque está opuesto al lado B;
α
al ángulo de 43° y A al lado de 5.Lo que tenemos entonces es lo siguiente: A = 5B = ?C = ?
α
= 43°
β
= 27°













Ley de cosenos
C
2
= A
2
+ B
2
– 2ABcos
 
γ 
La ley de los Coseno es una expresión que te permite conocer un lado de untriángulo cualquiera, si conoces los otros dos y el ángulo opuesto al lado quequieres conocer. Esta relación es útil para resolver ciertos tipos de problemasde triángulos.La ley del Coseno dice así: y si lo que te dan son los lados, y te piden el ángulo que hacen los lados B y C,entonces dice así:donde A, B y C (mayúsculas) son los lados del triángulo, y 
α
,
β
γ 
(minúsculas)son los ángulos del triángulo:Observa que las letras minúsculas de los ángulos no están pegadas a su letramayúscula. O sea, la a está en el ángulo opuesto de A. La b está en el ánguloopuesto de B. Y la c está en el ángulo opuesto de C. Siempre debe ser así cuandoresuelvas un triángulo. Si no lo haces así, el resultado seguramente te saldrámal.Observa que la ley del coseno es útil sólo si te dan los dos lados que te faltan y elángulo opuesto al lado que buscas, o sea estos:Dicho en otras palabras: te tienen que dar los lados y el ángulo que hacen loslados. Si no te dan el ángulo que hacen los lados, entonces tienes que usar la ley de los senos.Resolución de triángulos por la ley del CosenoResolver un triángulo significa encontrar todos los datos que te faltan, a partirde los datos que te dan (que generalmente son tres datos).*Nota: No todos los problemas de resolución de triángulos se pueden resolvercon la ley del coseno. A veces, por los datos que te dan, sólo la ley de los senos lopuede resolver.
BC
βγ α
 
BC
βγ α
BC
βγ α
 
BC
βγ α

APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

*FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN EL PLANO CARTESIANO:

signos de las funciones trigonometricas
las funciones trigonometricas pueden generalizarse para cualquier ángulo que esten en posición normal o standart en el plano cartesiano

funciones.jpg
signos de las funciones trigonometricas
funciones2.jpg

en el cuadrante uno todos los valores trigonometricos tienen signo positivo, pues la x como la y tienen signo positivo
*cuando el lado terminal en el numero dos romano cuadrante el signo de la coordenada es x es negativo y el ordenada "y" espositivo, en este cuadrante las coordenadas "x" y "y" tienen signo negativo
*cuando el lado terminal deangulo esta en el cuarto cuadrante las "x" tienen signo positivo y las "y" signo negativo.

*CIRCULO UNITARIO:
La circunferencia unitaria es una circunferencia de radio uno, es el lugar geométrico resultante de los puntos en el plano que se mantienen a una unidad de distancia respecto de un punto llamado centro que es el origen (0, 0) de un sistema de coordenadas cartesianas.

**GRAFICA DE LAS FUNCIONES DE LOS SENOS Y COSENOS:

Las funciones Seno y Coseno

La función seno se define de la siguiente manera
sen$\displaystyle :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},$   sen$\displaystyle x=S\left( \dfrac{x}{\pi }\right) .$   

Se define la función coseno como
$\displaystyle \cos :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad \cos x=C\left( \dfrac{x}{\pi }\right) .$

DESCRIBES LAS RELACIONES TRIGONOMETRICAS PARA RESOLVER TRIANGULOS

*FUNCIONES TRIGONOMETRICAS:
Las funciones trigonométricas surgen de una forma natural al estudiar el triángulo rectángulo y observar que las razones (cocientes) entre las longitudes de dos cualesquiera de sus lados sólo dependen del valor de los ángulos del triángulo. Pero vayamos por partes.
Primero consideraremos triángulos rectángulos ABC, rectángulos en A, con <B = 60º y <C = 30º. Todos los triángulos que dibujemos con estos ángulos son semejantes, y, por ello, las medidas de sus lados proporcionales:


*SISTEMA SEXAGESIMAL Y CIRCULAR:
El sistema sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, es decir, es su sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Operaciones en el sistema sexagesimal Suma 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos; y se suman. 2o paso Si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. 3er paso Se hace lo mismo para los minutos. Resta 1er paso Se colocan las horas debajo de las horas (o los grados debajo de los grados), los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos. 2o paso Se restan los segundos. Caso de que no sea posible, convertimos un minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del minuendo.
A continuación restamos los segundos. 3er paso Hacemos lo mismo con los minutos. Multiplicación por un número 1er paso Multiplicamos los segundos, minutos y horas (o grados) por el número. 2o paso Si los segundos sobrepasan los 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirán a los minutos. 3er paso · Se hace lo mismo para los minutos. División por un número Dividir 37º 48' 25'' entre 5 1er paso Se dividen las horas (o grados) entre el número. 2o paso El cociente son los grados y el resto, multiplicando por 60, los minutos. 3er paso · Se añaden estos minutos a los que tenemos y se repite el mismo proceso con los minutos. 4o paso Se añaden estos segundos a los que tenemos y se dividen los segundos. Medida compleja Es aquella que expresa distintas clases de unidades: 3 h 5 min 7s 25° 32' 17''. Medida incompleja o simple Se expresa únicamente con una clase de unidades. 3.2 h 5.12º. Paso de medidas complejas a incomplejas Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener, como resultado final. Pasar a segundos 3 h 36 min 42 s. Paso de medidas incomplejas a complejas Tenemos dos casos: 1 Si queremos pasar a unidades mayores hay que dividir. 7520'' 2 Si queremos pasar a unidades menores hay que multiplicar. El sistema circular. En este sistema se usa como unidad el ángulo llamado "radián". Un radián, es el ángulo cuyos lados comprenden un arco a la circunferencia cuya longitud es igual al radio de la circunferencia. Un radián equivale a 57° 17’ 44.81‘’ Para encontrar la medición de cualquier ángulo utilizamos el transportador, que usualmente está dividido en 360 partes iguales y cada una de esas partes equivalen a un grado, es decir, está en el sistema sexagesimal. Para encontrar qué tantos grados hay en ángulo, utilizando el transportador, se procede como sigue. 1.- Se hace coincidir la referencia y el cero del transportador con el vértice, de tal modo, que la parte horizontal de la referencia, ( ^ ) con el lado horizontal del ángulo y el otro lado del ángulo marcará en el transportador la magnitud del mismo.


*Razones trigonometricas directas y reciprocas de angulos agudos:

Dado un triángulo rectángulo ABC, se definen las razones trigonométricas del ángulo \alpha \,, de la siguiente manera:
  • El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sinus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
sen \, \alpha= \frac{a}{c} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AB}}
  • El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente (o contiguo) y la hipotenusa:
cos \, \alpha= \frac{b}{c} = \frac{\overline{AC}}{\overline{AB}}
  • La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
tg \, \alpha= \frac{a}{b} = \frac{\overline{CB}}{\overline{AC}}    

Las razones trigonométricas inversas se definen de la siguiente manera:
  • La cosecante (abreviado como csc o cosec), razón recíproca del seno:
cosec \, \alpha= \frac{1}{sen \, \alpha} = \frac{c}{a}
  • La secante (abreviado como sec), razón recíproca del coseno:
sec \, \alpha= \frac{1}{cos \, \alpha} = \frac{c}{b}
  • La cotangente (abreviado como cot), razón recíproca de la tangente:
cot \, \alpha= \frac{1}{tg \, \alpha} = \frac{b}{a}                                                                                                   


**CALCULO DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA 30° 45° Y 60° Y SUS MULTIPLOS:





De manera frecuente, los estudiantes nos hacen la siguiente pregunta: "¿ de cuáles ángulos se pueden calcular en forma exacta las funciones trigonométricas?". Aunque la pregunta así formulada carece de precisión, nosotros entendemos bien qué es lo que quiere saber el estudiante.
Cuando el estudiante aprende las funciones trigonométricas se le introducen éstas para los ángulos de 45o, 30o, 60o.
En efecto, con construcciones geométricas muy sencillas como las que se señalan a continuación,  las cuales aparecen en todos los manuales de secundaria, el estudiante calcula: 
Sen 45o = $ {\sqrt{2}\over2}$                Sen 30o = $ {1\over2}$                Sen 60o = $ {\sqrt{3}\over2}$
Cos 45o = $ {\sqrt{2}\over2}$               Cos 30o = $ {\sqrt{3}\over2}$               Cos 60o = $ {1\over2}$ 
Ahora sí entendemos lo que quería decir el estudiante cuando preguntaba sobre las funciones trigonométricas que se pueden calcular en "forma exacta". Nosotros no nos ocuparemos de comentar estos términos.
Más adelante cuando el estudiante aprende la definición de las funciones seno y coseno mediante el círculo trigonométrico aparecen: 
Sen 0o = 0          Sen 90o = 1

Cos 0o = 1          Cos 90o = 0
Aunque el estudiante aprende a calcular senos y cosenos de ángulos mayores de 90o los valores de dichas funciones no son diferentes a los anteriores, con excepción de cambios de signo por la posición de los ángulos en los diversos cuadrantes.
Una tabla de este tipo la tomamos de ([7]) y se ilustra más adelante (para ángulos en el primer cuadrante). En este trabajo nos proponemos calcular el valor de las funciones seno y coseno de los ángulos múltiplos de 3 medidos en grados.
En ([1] y [6]) se prueba que un ángulo de mo es contructible si y solo si m es múltiplo de 3.
De las fórmulas bien conocidas:
Sen ( 90o - $ \alpha^{o}_{}$) =Cos$ \alpha^{o}_{}$ 
Cos 90o $ \alpha^{o}_{}$) = Sen$ \alpha^{o}_{}$ 
Sen ( - $ \alpha^{o}_{}$) = - Sen$ \alpha^{o}_{}$ 
Cos ( - $ \alpha^{o}_{}$) = Cos$ \alpha^{o}_{}$ 
Se ve que es suficiente trabajar con ángulos entre 0o y 45o, lo que permitirá calcular las funciones trigonométricas de cualquier ángulo de mo con m entero.








EMPLEAS LA CIRCUNFERENCIA

**CIRCUNFERENCIA:

*RECTAS Y SEGMENTOS:
Según las  anteriores imágenes podemos   decir que una  RECTA  es  una secuencia de puntos que seprolongan  en sentidos opuestos y nunca tiene un fin. Un SEGMENTO es una  secuencia  de  puntos de
rectilíneos que  tiene  un punto de origen  y  un punto

final. En  este  caso se  origina  en  A y  finaliza  en  B.
*ANGULOS:
Agudo < 90°Recto = 90°Obtuso>90°
ángulo agudoángulo rectoángulo obtuso
Convexo < 180°Llano = 180°Cóncavo > 180°
ángulo obtusoángulo llanoángulo cóncavo
Nulo = 0ºCompleto = 360° 
ángulo nuloángulo Completo 
Negativo < 0ºMayor de 360° 
ángulo negativoángulo mayor de 360º  
*PERIMETRO Y AREA:Estas son las formulas mas comunes para el dicho caso.Si hablas de corcunferencia entonces:

La longitud de la circunferencia: 2πr

Donde: r es el radio, y π = 3,141592...

Por lo general solo lo dejan en π, pero alli esta su valor si quieres un valor exacto.

=> Area del circulo: R²π

Donde: R es el radio de la circunferencia.

=====================================

Perimetro de la circunferencia = 2πR
Area de la circunferencia: R²π

RECONOCES LAS PROPIEDADES DE LOS POLIGONOS

**POLIGONOS:

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).
Polígono
(lados rectos)
No es un polígono
(tiene una curva)
No es un polígono
(abierto, no cerrado)
 

Tipos de polígonos

Simple o complejo

Un polígono simple sólo tiene un borde que no se cruza con él mismo. ¡Uno complejo se interseca consigo mismo!
Polígono simple
(este es un pentágono)
Polígono complejo
(también es un pentágono)
  

**ELEMENTOS Y PROPIEDADES: 


*ANGULO CENTRAL: 
 Es un ángulo formado por dos rayas coplanares con respecto al círculo.
El vértice es el centro del círculo.
*ANGULO INTERIOR:

Ángulos interiores

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Nota: si sumas los ángulos interiores y exteriores sale el ángulo de una línea recta, 180°. 

**LA SUMA DE LOS ANGULOS CENTRALES, INTERIORES Y EXTERIORES:
Existen actualmente propiedades que se presentan en casos específicos de polígonos (Como es el de los tríangulos que la suma de sus ángulos interiores es igual a 180 grados sexagesimales), donde puede utilizarse como base estas para determinar tanto ángulos interiores y exteriores de otros polígonos por medio de la técnica de triángulación. Aplicable en un gran número de casos.
O bién puede partirse de la concepción de un ángulo llano (180 grados sexagesimales) e ir realizando una serie de sustracciones a base de ángulos ya conocidos, ambas métodos son igual de efectivos en diferentes escenarios.
Por otro lado en una instancia final, es posible también utilizar algo que es denominado en geometría como: (La regla general) siempre y cuando el polígono sea regular.
Siguiendo una especie de fórmula algebraica ya definida:
— Suma de los ángulos interiores —
— ángulo individual (interior) —
Donde “n” representa el (Número de lados del polígono a determinar - ángulos).
Por ejemplo, Supongamos que tenemos un triángulo y para ello deseamos conocer la suma de sus ángulos interiores y cuanto vale cada ángulo individual.. Entonces aplicamos la fórmula para determinarlo:
  • Suma de ángulos interiores
  • ángulo individual (interior)
Como se puede observar esto contransta de acuerdo a la ley del triángulo.
Ya una vez tenido las mediciones de ángulo interiores, las mediciones de los ángulos exteriores son facílmente deducibles a base de la diferencia de un ángulo llano y listo!.
Por ejemplo:
Supongamos que tenemos un triángulo y en el cual cada ángulo interior equivale a (60 grados sexagesimales) entonces su ángulo exterior equivale a (120 grados sexagesimales) de acuerdo a la diferencia en un ángulo llano. Como previamente se comento.
Por último, cabe destacar que la regla es muy útil cuando se posee un polígono regular, lo cual no significa que los demás sean un tanto menos deficientes unicamente que es mejor uno determinando la situación presente.

**PERIMETRO Y AREA DE POLIGONOS REGULARES E IRREGULARES:
Calcular el área de un polígono regular es una tarea bastante sencilla porque hay una fórmula que sirve para todos los polígonos regulares.
Encontrar el área de un polígono irregular es como jugar un juego en el que tienes que construir una forma con un montón de formas más pequeñas, hay que crear formas estándar y sumar las áreas de las formas para encontrar el área del polígono irregular. Sin embargo, ser capaz de hacer esto es más útil que saber cómo jugar a un juego. Peritos, agricultores y jardineros deben ser capaces de encontrar el área de piezas de forma irregular para trabajar con la tierraadecuadamente.
Area de poligonos regulares  


Observa en la figura como se divide el hexágono regular en seis triángulos congruentes (mismaforma y tamaño). Por lo tanto, el área del hexágono es igual a seis veces el área de cada triángulo.
Decimos: Área del hexágono = 6 x área del triángulo.
Ahora bien:
  • La base de cada triángulo es un lado del hexágono.
  • La altura de cada triángulo es la apotema del hexágono. Por lo tanto:
Área del triángulo = base x altura / 2 = lado x apotema / 2 y el área del hexágono = 6 x lado x apotema / 2
¡Pero 6 x lado es el perímetro del hexágono! Por lo tanto:
Área del hexágono = perímetro x apotema / 2
Esta formula es valida para todos los polígonos regulares:
Área del polígono = perímetro x apotema / 2

Area del poligono irregular
Area de poligonos irregulares  
El área de un polígono irregular se puede hallar descomponiendo el polígono en otras figuras: triángulos, rectángulos, trapecios, etc.
Observa la figura. Se calcula el área de un polígono como suma de 3 triángulos y un trapecio:
  • del triángulo ABE = 6 cm x 3 cm / 2 = 9 cm2
  • del triángulo EDM = 2 cm x 3 cm / 2 = 3 cm2
  • del trapecio MDCN = 3 cm + 2 cm / 2 x 3 cm = 7,5 cm2
  • del triángulo NCB = 1 cm x 2 cm / 2 = 1 cm2
Área del polígono = 9 + 3 + 7,5 + 1 = 20,5 cm2
El perímetro es la suma de la longitud de todos los lados de un polígono.

Polígonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados iguales

Polígonos irregulares son los que tienen sus lados diferentes.